Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & 7 & 10 & 0 0 & 1 & 2 & 5 1 & 2 & 1 & 0 2 & 0 & 10 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique

p (λ)

$p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille

$4$ est la matrice carrée

$4 \times 4$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$ .

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Étape 3.1

Remplacez

$A$ par

$[\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] - λ I_{4})$

Étape 3.2

Remplacez

$I_{4}$ par

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez

$- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.9.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.10.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.11

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.12.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.13.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.14.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.15.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.16

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 7 + 0 & 10 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 & 5 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 10 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez

$7$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 & 5 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 10 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez

$10$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 & 5 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 10 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 & 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 & 5 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 10 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 2 + 0 & 5 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 10 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 2 & 5 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 10 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez

$5$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 2 & 5 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 10 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.7

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 2 & 5 \\ 1 & 2 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 10 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.8

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 10 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.9

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 - λ & 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 10 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.10

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 - λ & 0 \\ 2 & 0 + 0 & 10 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.11

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 - λ & 0 \\ 2 & 0 & 10 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.12

Additionnez

$10$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 - λ & 0 \\ 2 & 0 & 10 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

$4$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for

$a_{14}$ is the determinant with row

$1$ and column

$4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \\ 2 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element

$a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \\ 2 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for

$a_{24}$ is the determinant with row

$2$ and column

$4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 1 & 2 & 1 - λ \\ 2 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element

$a_{24}$ by its cofactor.

$5 | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 1 & 2 & 1 - λ \\ 2 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for

$a_{34}$ is the determinant with row

$3$ and column

$4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 2 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element

$a_{34}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 2 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 5.1.9

The minor for

$a_{44}$ is the determinant with row

$4$ and column

$4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.10

Multiply element

$a_{44}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \\ 2 & 0 & 10 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 1 & 2 & 1 - λ \\ 2 & 0 & 10 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 2 & 0 & 10 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.2

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \\ 2 & 0 & 10 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 5 | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 1 & 2 & 1 - λ \\ 2 & 0 & 10 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 2 & 0 & 10 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.3

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 2 & 0 & 10 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 5 | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 1 & 2 & 1 - λ \\ 2 & 0 & 10 \end{array} | + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 1 & 2 & 1 - λ \\ 2 & 0 & 10 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 5.4.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 - λ \\ 0 & 10 \end{array} |$

Étape 5.4.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 2 & 1 - λ \\ 0 & 10 \end{array} |$

Étape 5.4.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 2 & 10 \end{array} |$

Étape 5.4.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$- 7 | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 2 & 10 \end{array} |$

Étape 5.4.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$10 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 + 5 ((3 - λ) | \begin{array}{c} 2 & 1 - λ \\ 0 & 10 \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 2 & 10 \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} |) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.2

Évaluez

$| \begin{array}{c} 2 & 1 - λ \\ 0 & 10 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 5 ((3 - λ) (2 \cdot 10 + 0 (1 - λ)) - 7 | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 2 & 10 \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} |) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.1.1

Multipliez

$2$ par

$10$ .

$p (λ) = 0 + 5 ((3 - λ) (20 + 0 (1 - λ)) - 7 | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 2 & 10 \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} |) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.2.2.1.2

Multipliez

$0$ par

$1 - λ$ .

$p (λ) = 0 + 5 ((3 - λ) (20 + 0) - 7 | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 2 & 10 \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} |) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.2.2.2

Additionnez

$20$ et

$0$ .

$p (λ) = 0 + 5 ((3 - λ) \cdot 20 - 7 | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 2 & 10 \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} |) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 2 & 10 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 5 ((3 - λ) \cdot 20 - 7 (1 \cdot 10 - 2 (1 - λ)) + 10 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} |) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.2.1.1

Multipliez

$10$ par

$1$ .

$p (λ) = 0 + 5 ((3 - λ) \cdot 20 - 7 (10 - 2 (1 - λ)) + 10 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} |) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 5 ((3 - λ) \cdot 20 - 7 (10 - 2 \cdot 1 - 2 (- λ)) + 10 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} |) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.3.2.1.3

Multipliez

$- 2$ par

$1$ .

$p (λ) = 0 + 5 ((3 - λ) \cdot 20 - 7 (10 - 2 - 2 (- λ)) + 10 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} |) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.3.2.1.4

Multipliez

$- 1$ par

$- 2$ .

$p (λ) = 0 + 5 ((3 - λ) \cdot 20 - 7 (10 - 2 + 2 λ) + 10 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} |) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.3.2.2

Soustrayez

$2$ de

$10$ .

$p (λ) = 0 + 5 ((3 - λ) \cdot 20 - 7 (8 + 2 λ) + 10 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} |) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.3.2.3

Remettez dans l’ordre

$8$ et

$2 λ$ .

$p (λ) = 0 + 5 ((3 - λ) \cdot 20 - 7 (2 λ + 8) + 10 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} |) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 5 ((3 - λ) \cdot 20 - 7 (2 λ + 8) + 10 (1 \cdot 0 - 2 \cdot 2)) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.1.1

Multipliez

$0$ par

$1$ .

$p (λ) = 0 + 5 ((3 - λ) \cdot 20 - 7 (2 λ + 8) + 10 (0 - 2 \cdot 2)) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.4.2.1.2

Multipliez

$- 2$ par

$2$ .

$p (λ) = 0 + 5 ((3 - λ) \cdot 20 - 7 (2 λ + 8) + 10 (0 - 4)) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.4.2.2

Soustrayez

$4$ de

$0$ .

$p (λ) = 0 + 5 ((3 - λ) \cdot 20 - 7 (2 λ + 8) + 10 \cdot - 4) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 5 (3 \cdot 20 - λ \cdot 20 - 7 (2 λ + 8) + 10 \cdot - 4) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.2

Multipliez

$3$ par

$20$ .

$p (λ) = 0 + 5 (60 - λ \cdot 20 - 7 (2 λ + 8) + 10 \cdot - 4) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.3

Multipliez

$20$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + 5 (60 - 20 λ - 7 (2 λ + 8) + 10 \cdot - 4) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 5 (60 - 20 λ - 7 (2 λ) - 7 \cdot 8 + 10 \cdot - 4) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.5

Multipliez

$2$ par

$- 7$ .

$p (λ) = 0 + 5 (60 - 20 λ - 14 λ - 7 \cdot 8 + 10 \cdot - 4) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.6

Multipliez

$- 7$ par

$8$ .

$p (λ) = 0 + 5 (60 - 20 λ - 14 λ - 56 + 10 \cdot - 4) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.7

Multipliez

$10$ par

$- 4$ .

$p (λ) = 0 + 5 (60 - 20 λ - 14 λ - 56 - 40) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.5.2

Soustrayez

$56$ de

$60$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 20 λ - 14 λ + 4 - 40) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.5.3

Soustrayez

$14 λ$ de

$- 20 λ$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ + 4 - 40) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.5.4

Soustrayez

$40$ de

$4$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.5

Évaluez

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 7 & 10 \\ 0 & 1 - λ & 2 \\ 1 & 2 & 1 - λ \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

$1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 5.5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.5

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.6

Multiply element

$a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.7

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 1 - λ & 2 \end{array} |$

Étape 5.5.1.8

Multiply element

$a_{31}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 1 - λ & 2 \end{array} |$

Étape 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 1 - λ & 2 \end{array} |)$

Étape 5.5.2

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 1 - λ & 2 \end{array} |)$

Étape 5.5.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) ((1 - λ) (1 - λ) - 2 \cdot 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 1 - λ & 2 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.2.1.1

Développez

$(1 - λ) (1 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (1 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 2 \cdot 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 1 - λ & 2 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) - 2 \cdot 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 1 - λ & 2 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 1 - λ & 2 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.2.1.2.1.1

Multipliez

$1$ par

$1$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 1 - λ & 2 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.2.1.2

Multipliez

$- λ$ par

$1$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 1 - λ & 2 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.2.1.3

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (1 - λ - λ - λ (- λ) - 2 \cdot 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 1 - λ & 2 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 1 - λ & 2 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.2.1.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.2.1.2.1.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 1 - λ & 2 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.2.1.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 1 - λ & 2 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.2.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (1 - λ - λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 1 - λ & 2 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.2.1.7

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (1 - λ - λ + λ^{2} - 2 \cdot 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 1 - λ & 2 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.2.2

Soustrayez

$λ$ de

$- λ$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 1 - λ & 2 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.3

Multipliez

$- 2$ par

$2$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - 4) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 1 - λ & 2 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.2

Soustrayez

$4$ de

$1$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (- 2 λ + λ^{2} - 3) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 1 - λ & 2 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.3

Remettez dans l’ordre

$- 2 λ$ et

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 3) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 1 - λ & 2 \end{array} |)$

Étape 5.5.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 7 & 10 \\ 1 - λ & 2 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 3) + 0 + 1 (7 \cdot 2 - (1 - λ) \cdot 10))$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.1.1

Multipliez

$7$ par

$2$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 3) + 0 + 1 (14 - (1 - λ) \cdot 10))$

Étape 5.5.4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 3) + 0 + 1 (14 + (- 1 \cdot 1 - - λ) \cdot 10))$

Étape 5.5.4.2.1.3

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 3) + 0 + 1 (14 + (- 1 - - λ) \cdot 10))$

Étape 5.5.4.2.1.4

Multipliez

$- - λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.1.4.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 3) + 0 + 1 (14 + (- 1 + 1 λ) \cdot 10))$

Étape 5.5.4.2.1.4.2

Multipliez

$λ$ par

$1$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 3) + 0 + 1 (14 + (- 1 + λ) \cdot 10))$

Étape 5.5.4.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 3) + 0 + 1 (14 - 1 \cdot 10 + λ \cdot 10))$

Étape 5.5.4.2.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$10$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 3) + 0 + 1 (14 - 10 + λ \cdot 10))$

Étape 5.5.4.2.1.7

Déplacez

$10$ à gauche de

$λ$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 3) + 0 + 1 (14 - 10 + 10 λ))$

Étape 5.5.4.2.2

Soustrayez

$10$ de

$14$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 3) + 0 + 1 (4 + 10 λ))$

Étape 5.5.4.2.3

Remettez dans l’ordre

$4$ et

$10 λ$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 3) + 0 + 1 (10 λ + 4))$

Étape 5.5.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.1

Additionnez

$(3 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 3)$ et

$0$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 3) + 1 (10 λ + 4))$

Étape 5.5.5.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.2.1

Développez

$(3 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) (3 λ^{2} + 3 (- 2 λ) + 3 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 3 + 1 (10 λ + 4))$

Étape 5.5.5.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.2.2.1

Multipliez

$- 2$ par

$3$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ + 3 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 3 + 1 (10 λ + 4))$

Étape 5.5.5.2.2.2

Multipliez

$3$ par

$- 3$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - 9 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 3 + 1 (10 λ + 4))$

Étape 5.5.5.2.2.3

Multipliez

$λ$ par

$λ^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.2.2.3.1

Déplacez

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - 9 - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 3 + 1 (10 λ + 4))$

Étape 5.5.5.2.2.3.2

Multipliez

$λ^{2}$ par

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.2.2.3.2.1

Élevez

$λ$ à la puissance

$1$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - 9 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 3 + 1 (10 λ + 4))$

Étape 5.5.5.2.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - 9 - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 3 + 1 (10 λ + 4))$

Étape 5.5.5.2.2.3.3

Additionnez

$2$ et

$1$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - 9 - λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 3 + 1 (10 λ + 4))$

Étape 5.5.5.2.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - 9 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - λ \cdot - 3 + 1 (10 λ + 4))$

Étape 5.5.5.2.2.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.2.2.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - 9 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 3 + 1 (10 λ + 4))$

Étape 5.5.5.2.2.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - 9 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - λ \cdot - 3 + 1 (10 λ + 4))$

Étape 5.5.5.2.2.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 2$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - 9 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ \cdot - 3 + 1 (10 λ + 4))$

Étape 5.5.5.2.2.7

Multipliez

$- 3$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - 9 - λ^{3} + 2 λ^{2} + 3 λ + 1 (10 λ + 4))$

Étape 5.5.5.2.3

Additionnez

$3 λ^{2}$ et

$2 λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) (5 λ^{2} - 6 λ - 9 - λ^{3} + 3 λ + 1 (10 λ + 4))$

Étape 5.5.5.2.4

Additionnez

$- 6 λ$ et

$3 λ$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) (5 λ^{2} - 3 λ - 9 - λ^{3} + 1 (10 λ + 4))$

Étape 5.5.5.2.5

Multipliez

$10 λ + 4$ par

$1$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) (5 λ^{2} - 3 λ - 9 - λ^{3} + 10 λ + 4)$

Étape 5.5.5.3

Additionnez

$- 3 λ$ et

$10 λ$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) (5 λ^{2} + 7 λ - 9 - λ^{3} + 4)$

Étape 5.5.5.4

Additionnez

$- 9$ et

$4$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) (5 λ^{2} + 7 λ - λ^{3} - 5)$

Étape 5.5.5.5

Déplacez

$7 λ$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) (5 λ^{2} - λ^{3} + 7 λ - 5)$

Étape 5.5.5.6

Remettez dans l’ordre

$5 λ^{2}$ et

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = 0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} + 7 λ - 5)$

Étape 5.6

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Associez les termes opposés dans

$0 + 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} + 7 λ - 5)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1.1

Additionnez

$0$ et

$5 (- 34 λ - 36)$ .

$p (λ) = 5 (- 34 λ - 36) + 0 + (4 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} + 7 λ - 5)$

Étape 5.6.1.2

Additionnez

$5 (- 34 λ - 36)$ et

$0$ .

$p (λ) = 5 (- 34 λ - 36) + (4 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} + 7 λ - 5)$

Étape 5.6.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 5 (- 34 λ) + 5 \cdot - 36 + (4 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} + 7 λ - 5)$

Étape 5.6.2.2

Multipliez

$- 34$ par

$5$ .

$p (λ) = - 170 λ + 5 \cdot - 36 + (4 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} + 7 λ - 5)$

Étape 5.6.2.3

Multipliez

$5$ par

$- 36$ .

$p (λ) = - 170 λ - 180 + (4 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} + 7 λ - 5)$

Étape 5.6.2.4

Développez

$(4 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} + 7 λ - 5)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = - 170 λ - 180 + 4 (- λ^{3}) + 4 (5 λ^{2}) + 4 (7 λ) + 4 \cdot - 5 - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (7 λ) - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.5.1

Multipliez

$- 1$ par

$4$ .

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 4 (5 λ^{2}) + 4 (7 λ) + 4 \cdot - 5 - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (7 λ) - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5.2

Multipliez

$5$ par

$4$ .

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 20 λ^{2} + 4 (7 λ) + 4 \cdot - 5 - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (7 λ) - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5.3

Multipliez

$7$ par

$4$ .

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 20 λ^{2} + 28 λ + 4 \cdot - 5 - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (7 λ) - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5.4

Multipliez

$4$ par

$- 5$ .

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 20 λ^{2} + 28 λ - 20 - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (7 λ) - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 20 λ^{2} + 28 λ - 20 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (5 λ^{2}) - λ (7 λ) - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5.6

Multipliez

$λ$ par

$λ^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.5.6.1

Déplacez

$λ^{3}$ .

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 20 λ^{2} + 28 λ - 20 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (5 λ^{2}) - λ (7 λ) - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5.6.2

Multipliez

$λ^{3}$ par

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.5.6.2.1

Élevez

$λ$ à la puissance

$1$ .

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 20 λ^{2} + 28 λ - 20 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (5 λ^{2}) - λ (7 λ) - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5.6.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 20 λ^{2} + 28 λ - 20 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (5 λ^{2}) - λ (7 λ) - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5.6.3

Additionnez

$3$ et

$1$ .

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 20 λ^{2} + 28 λ - 20 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (5 λ^{2}) - λ (7 λ) - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5.7

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 20 λ^{2} + 28 λ - 20 + 1 λ^{4} - λ (5 λ^{2}) - λ (7 λ) - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5.8

Multipliez

$λ^{4}$ par

$1$ .

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 20 λ^{2} + 28 λ - 20 + λ^{4} - λ (5 λ^{2}) - λ (7 λ) - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 20 λ^{2} + 28 λ - 20 + λ^{4} - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - λ (7 λ) - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5.10

Multipliez

$λ$ par

$λ^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.5.10.1

Déplacez

$λ^{2}$ .

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 20 λ^{2} + 28 λ - 20 + λ^{4} - 1 \cdot 5 (λ^{2} λ) - λ (7 λ) - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5.10.2

Multipliez

$λ^{2}$ par

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.5.10.2.1

Élevez

$λ$ à la puissance

$1$ .

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 20 λ^{2} + 28 λ - 20 + λ^{4} - 1 \cdot 5 (λ^{2} λ^{1}) - λ (7 λ) - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5.10.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 20 λ^{2} + 28 λ - 20 + λ^{4} - 1 \cdot 5 λ^{2 + 1} - λ (7 λ) - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5.10.3

Additionnez

$2$ et

$1$ .

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 20 λ^{2} + 28 λ - 20 + λ^{4} - 1 \cdot 5 λ^{3} - λ (7 λ) - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5.11

Multipliez

$- 1$ par

$5$ .

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 20 λ^{2} + 28 λ - 20 + λ^{4} - 5 λ^{3} - λ (7 λ) - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 20 λ^{2} + 28 λ - 20 + λ^{4} - 5 λ^{3} - 1 \cdot 7 λ \cdot λ - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5.13

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.5.13.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 20 λ^{2} + 28 λ - 20 + λ^{4} - 5 λ^{3} - 1 \cdot 7 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5.13.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 20 λ^{2} + 28 λ - 20 + λ^{4} - 5 λ^{3} - 1 \cdot 7 λ^{2} - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5.14

Multipliez

$- 1$ par

$7$ .

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 20 λ^{2} + 28 λ - 20 + λ^{4} - 5 λ^{3} - 7 λ^{2} - λ \cdot - 5$

Étape 5.6.2.5.15

Multipliez

$- 5$ par

$- 1$ .

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 4 λ^{3} + 20 λ^{2} + 28 λ - 20 + λ^{4} - 5 λ^{3} - 7 λ^{2} + 5 λ$

Étape 5.6.2.6

Soustrayez

$5 λ^{3}$ de

$- 4 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 9 λ^{3} + 20 λ^{2} + 28 λ - 20 + λ^{4} - 7 λ^{2} + 5 λ$

Étape 5.6.2.7

Soustrayez

$7 λ^{2}$ de

$20 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 9 λ^{3} + 13 λ^{2} + 28 λ - 20 + λ^{4} + 5 λ$

Étape 5.6.2.8

Additionnez

$28 λ$ et

$5 λ$ .

$p (λ) = - 170 λ - 180 - 9 λ^{3} + 13 λ^{2} + 33 λ - 20 + λ^{4}$

Étape 5.6.3

Additionnez

$- 170 λ$ et

$33 λ$ .

$p (λ) = - 180 - 9 λ^{3} + 13 λ^{2} - 137 λ - 20 + λ^{4}$

Étape 5.6.4

Soustrayez

$20$ de

$- 180$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 13 λ^{2} - 137 λ - 200 + λ^{4}$

Étape 5.6.5

Déplacez

$- 200$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 13 λ^{2} - 137 λ + λ^{4} - 200$

Étape 5.6.6

Déplacez

$- 137 λ$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 13 λ^{2} + λ^{4} - 137 λ - 200$

Étape 5.6.7

Déplacez

$13 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + λ^{4} + 13 λ^{2} - 137 λ - 200$

Étape 5.6.8

Remettez dans l’ordre

$- 9 λ^{3}$ et

$λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 9 λ^{3} + 13 λ^{2} - 137 λ - 200$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à

$0$ pour déterminer les valeurs propres

$λ$ .

$λ^{4} - 9 λ^{3} + 13 λ^{2} - 137 λ - 200 = 0$

Étape 7

Résolvez

$λ$ .

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Étape 7.1

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$λ \approx - 1.19651268, 9.40658404$